GERBANG dan ALJABAR BOOLEAN

Konsep dasar aljabar Boole (Boolean Algebra) telah diletakkan oleh seorang matematisi Inggris George Boole, pada tahun 1854. Konsep dasar itu membutuhkan waktu yang cukup lama untuk disadari kegunaannya, baik dalam bidang matematika maupun dalam bidang teknik. Pada tahun 1938 Claude Shannon, seorang ahli komunikasi, memanfaatkan dan menyempurnakan konsep Boole tersebut. Sekarang ini, aljabar Boolean memegang peranan yang sangat penting, tidak saja dalam logika, tetapi juga di bidang lain seperti teori peluang/kemungkinan, teori informasi/komunikasi, teori

himpunan dan lain-lain. Teori ini juga dipakai dalam merancang komputer elektronik dengan menerjemahkannya ke dalam rangkaian saklar (switching circuits) yang pada dasarnya adalah logika, tertutup atau terbuka, mengalirkan arus listrik atau tidak.

 Gerbang Dasar dan Tabel Kebenaran

Harga perubah (variabel) logika, pada dasarnya hanya dua, yaitu benar (true) atau salah (false). Dalam persamaan logika, umumnya simbol 1 dipakai untuk menyatakan benar dan simbol 0 dipakai untuk untuk menyatakan salah. Dengan memakai simbol ini, maka keadaan suatu logika hanya mempunyai dua kemungkinan, 1 dan 0. Kalau tidak 1, maka keadaan itu harus 0 dan kalau tidak 0 maka keadaan itu harus 1. Operasi yang paling mendasar dalam logika adalah penyangkalan dengan

kata-kata "tidak" (NOT). Jadi, "benar" adalah "tidak salah" dan "salah" adalah "tidak benar". Operasi ini dikenal secara umum dengan nama "inversion" yang disimbolkan dengan garis di atas peubah yang disangkal ataupun tanda petik (') di kanan-atas peubah itu. Dengan notasi ini, maka logika penyangkalan dapat dituliskan sebagai :

1 = 0 dan 0 = 1 atau: 1’ = 0 dan 0’ = 1

Gerbang elektronik yang berfungsi menidakkan ini disebut gerbang NOT dan sering juga disebut "inverter". Bila masukan gerbang NOT dinamakan A dan keluarannya dinamakan Z, maka hubungan masukan dan keluaran itu dituliskan sebagai:

Z = A atau Z = A’

Karena masukan A hanya dapat berkeadaan 0 atau 1, maka Z juga hanya dapat berkeadaan 1 atau 0. Keadaan keluaran Z untuk setiap keadaan masukannya dapat ditunjukkan dalam bentuk tabel yang disebut "tabel kebenaran" (truth table), yang sering juga disebut tabel kombinasi (combination

table), sebagai berikut:

Tabel Kebenaran NOT

A Z= A

0 1

1 0

Dari pers. (2.1) di atas dapat dilihat, yang juga ditunjukkan dalam tabel kebenaran di atas, bahwa fungsi Z berkeadaan 1 bila A berkeadaan 0. Perhatikan juga bahwa fungsi dinyatakan untuk keadaan 1 dan peubah yang berkeadaan 0 di-NOT-kan (dikomplemenkan) untuk membuat Z = 1. Hal ini berlaku secara umum dalam aljabar Boole dan untuk peubah yang aktif untuk tegangan 0 Volt

(rendah) sering diberi nama dengan garis komplemen diatasnya. Bentuk keluaran suatu rangkaian logika dalam bentuk fungsi Boolean dapat diperoleh dengan mudah dari tabel kebenaran rangkaian logika yang bersangkutan. Tetapi fungsi yang dihasilkan dari tabel kebenaran umumnya belumlah dalam bentuk yang sederhana, yang membutuhkan gerbang yang paling sedikit, dan masih perlu disederhanakan. Penyederhanaan ini akan dibahas dalam bab-bab berikutnya.

Dua operasi yang paling mendasar lainnya dalam aljabar logika adalah operasi "DAN" (AND) dan operasi "ATAU" (OR). Gerbang elektronik yang merealisasikan logika ini masing-masing diberi nama gerbang "AND" dan gerbang "OR". Perlu ditegaskan kembali bahwa untuk logika positif yang dipakai seterusnya dalam buku ini, 1 diartikan benar dan 0 diartikan salah dan secara elektroniknya, 1 diartikan sebagai tegangan tinggi (paling umum adalah +5 Volt) dan 0 diartikan sebagai tegangan rendah (0 Volt). Tegangan elektronik 0 - 5 Volt ini dikenal sebagai level TTL, singkatan dari Transistor-Transistor Logic.

Untuk suatu gerbang OR dengan 2 masukan, katakanlah A dan B, keluarannya akan benar (= 1) bila salah satu masukan A "atau" B adalah benar dan keluaran itu akan salah (= 0) bila kedua masukan A dan B secara bersama-sama salah. Untuk gerbang AND dengan dua masukan A dan B, keluarannya akan benar hanya bila kedua masukannya A "DAN" B adalah benar dan salah bila salah satu masukan itu salah. Keterangan ini ditunjukkan lebih jelas oleh tabel kebenaran pada Gambar 2.1.

(a) Gerbang OR: Z = A + B (b) Gerbang AND: Z = A.B = AB

Dalam aljabar Boolean, operasi yang dilakukan oleh gerbang OR disimbolkan dengan operator "+" dan dibaca OR atau "ATAU" dan operasi AND7 disimbolkan dengan operator "." dan dibaca AND atau "DAN". Tanda operator "." sering dihilangkan saja dengan catatan bahwa tanpa ada operator lain

diartikan sebagai operasi AND. Seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.1, operasi OR dan AND untuk dua peubah masukan dituliskan sebagai berikut :

OR : Z = A + B (2.2)

AND : Z = A.B = AB (2.3)

Simbol yang umum dipakai dalam penyajian rangkaian logika untuk gerbang OR dan AND, juga NOT, ditunjukkan pada Gambar 2.2.

(a) NOT: Z = A, (b) OR: Z = A+B, (c) AND: Z = A.B

Dalam praktek, terutama dalam hubungan pernyataan fungsi Boole dan penyederhanaannya, operator OR sering dibaca "tambah" dan operator AND sering dibaca "kali". Karena kebiasaan ini, sering orang menganggap bahwa peubah logika (Boole) adalah peubah biner. Perlu ditegaskan bahwa peubah logika bukanlah peubah biner. Kalau peubah biner mempunyai harga yang padanya dapat dilakukan operasi aritmatika, maka peubah logika hanyalah simbol dan tidak mempunyai harga yang dapat ditambah-kurangkan atau dikalibagikan.

Tabel kebenaran OR pada Gambar 2.1 menunjukkan hal ini. Dalam logika, 1+ 1= 1 sedangkan dalam biner, 1 + 1 =10. Selain itu, dalam logika tidak ada pengurangan dan pembagian.

Pernyataan untuk gerbang OR dan AND dengan 2 masukan di atas dapat dikembangkan untuk semua jumlah masukan; keluaran OR adalah 1 (benar) bila salah satu masukannya 1 dan hanyalah 0 (salah) bila semua masukannya 0; keluaran AND adalah 0 (salah) bila salah satu masukannya 0 dan hanyalah benar bila semua masukannya 1. Dalam pernyataan ini tersirat suatu dualitas antara OR dan AND, yaitu pernyataan untuk OR adalah lawan/ kebalikan daripada pernyataan untuk AND. Bila pernyataan untuk OR dipakai untuk AND, artinya menggantikan AND pada tempat OR, maka keadaan 1 (benar) harus digantikan dengan 0 (salah) dan keadaan 0 (salah) digantikan dengan 1 (benar), jadi keadaannya dikomplemenkan. Keadaan serupa berlaku bila AND pada pernyataan AND digantikan dengan OR.

Sumber:

http://ocw.usu.ac.id/course/download/4190000007-dasar-teknik-digital/tke_113_handout_gerbang_dan_aljabar_boole.pdf